L'intégrale de Lebesgue en L1

Laurent Moonens (Docteur en mathématiques) et moi-même présentons la notion d’intégrabilité au sens de Lebesgue par une modification formellement simple mais conceptuellement profonde de la notion de somme de Riemann. La définition ainsi présentée d’intégrale de Lebesgue est due au mathématicien américain Edward McShane.

Nous nous lançons ensuite, suivant la notion d’intégrabilité au sens de Lebesgue, dans l’élaboration du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral, puis nous énonçons et démontrons le fameux théorème de convergence de Levi.

Cet article a été publié en juillet 2009 dans la revue scientifique française Quadrature.

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Critère de Cauchy d'intégrabilité au sens de Riemann

Je présente ici une condition nécessaire et suffisante d’intégrabilité au sens de Riemann, portant le nom de critère de Cauchy. La définition d’intégrale de Riemann est motivée par la notion d’aire sous un graphe. Je donne aussi un exemple d’une fonction qui n’est pas intégrable en ce sens pour proposer au lecteur l’existence d’autres notions d’intégrabilité, telle que celle due au mathématicien françrais Henry Léon Lebesgue, qui permettent d’intégrer la fonction porposée.

Article accessible ici (PDF).

Rédigé le 19 octobre 2008.

Dernière modification le 17 juin 2009.

Critère de Cauchy

Dans cet article, je me lance dans l’élaboration d’une condition à la fois nécessaire et suffisante d’existence de la limite d’une fonction en un point. Cette condition portant le nom de critère de Cauchy. J’essaye de motiver au mieux les définitions utilisées ainsi que les résultats dont j'ai besoin.

Article accessible ici (PDF).

Rédigé le 5 mai 2008.

Dernière modification le 17 juin 2009.